Ciekawe liczby - "Wiedzą, co mówią", odc. 12.

W kolejnym artykule z cyklu "Wiedzą, co mówią" dr inż. Jakub Szczepaniak z Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki przedstawia ciekawe liczby: bogate, biedne, szczęśliwe, dające radość, praktyczne, diabelskie, anielskie.

Wielokrotnie podczas spotkań towarzyskich z przedstawicielami innych środowisk niż techniczno- inżynierskich czułem się nieswojo. Dawano mi do zrozumienia, że matematyka, którą się na co dzień zajmuję jest nieciekawa i nudna. Trudno pasjonująco przedstawiać twierdzenie o trzech ciągach, czy o różnicy pomiędzy indukcją zupełną i niezupełną. Dlatego od czasu do czasu, aby przełamać stereotyp starego nudziarza, który na przyjęciach nie ma nic ciekawego do powiedzenia staram się przebić przez gorące dyskusje i proponuję zaprezentowanie magicznego tricku.

Oświadczamy, że odgadniemy miesiąc i dzień miesiąca urodzin każdego, kto wykona określony przez nas ciąg operacji. Umawiamy się jeszcze, że miesiące oznaczymy według schematu: styczeń = 1, luty = 2, etc. Obecnie prosimy zainteresowanych o wykonanie następujących działań:

1. Liczbę oznaczającą miesiąc urodzin pomnóż przez 100.

Podczas gdy publiczność sięga po telefony komórkowe, informujemy wszystkich, że 100 jest bardzo ciekawą liczba bo:

• Jest bogata. Liczba naturalna jest bogata, gdy suma jej dzielników różnych od niej samej jest większa od niej samej. W naszym przypadku mamy: 1+2+4+5+10+20+25+50 = 117> 100.
• Jest szczęśliwa. Liczba naturalna jest szczęśliwa gdy proces kolejnego dodawania kwadratów cyfr ją tworzących prowadzi do 1.
• Jest anielska. Liczba naturalna jest anielska jeżeli ma nieparzystą liczbę jedynek w postaci binarnej: 100 = 1100100(2).
• Jest potężna. Liczba naturalna jest potężna, jeżeli dla każdej liczby pierwszej będącej jej dzielnikiem, kwadrat tej pierwszej również jest jej dzielnikiem.

W przypadku liczby 100 jej pierwszymi dzielnikami są 2 i 5. Kwadraty 2 i 5, czyli 4 i 25, są również dzielnikami liczby 100.

• Jest praktyczna. Liczba naturalna jest praktyczna, jeżeli każda liczba naturalna mniejsza od niej jest jej dzielnikiem lub da się zapisać jako suma dzielników tej liczby.
• Jest liczbą Nivena. Liczba naturalna jest liczbą Nivena, jeśli dzieli się przez sumę swoich cyfr.

Wracając, do odgadywania daty urodzenia:

2. Do otrzymanego wyniku dodaj dzień miesiąca, w którym się urodziłeś: 1, 2,…,31.

Następnie wynik pomnóż przez 2. 2 jest bardzo słynną liczbą, gdyż występuje w twierdzeniu Eulera dotyczącym wielościanów: otóż dla każdego wielościanu mamy: w+ ś – k = 2 gdzie w, ś, k to liczby wierzchołków, ścian, krawędzi.

3. W kolejnym etapie prosimy o dodanie do wyniku liczby 9.

• 9 jest najmniejszą liczbą nieparzystą, która jest jednocześnie złożona.
• 9 możemy przedstawić jako sumę cyfr jej kwadratu. (Tylko 1 obok 9 posiada taką własność).
• 9 i 1 są jedynymi kwadratami, które składają się tylko z cyfr nieparzystych.

4. Następnie wynik mnożymy przez 5.  

Z ciekawych własności liczby 5 odnotujmy, że:

• 5 to jedyna liczba pierwsza, która jest elementem dwóch par liczb pierwszych bliźniaczych (3,5) oraz (5,7).
• 5 to liczba brył platońskich.
• 5 to również najmniejsza liczba wierzchołków, które tworzą graf niepłaski.
• Jedyny wielokąt, w którym liczba przekątnych równa jest liczbie boków to pięciokąt.

5. Do wyniku dodajemy 8.

Z ciekawych własności liczby 8 wypada wspomnieć, że:

• jest ona najmniejszą liczbą, która równie się sumie cyfr swojego sześcianu.
• 8 jest również trzecią liczbą tortową. n-ta liczba tortowa to największa liczba kawałków tortu, na jakie można go pokroić używając n cięć nożem. Początkowe wyrazy ciągu liczb tortowych to: 2, 4, 8, 15.

6. Obecnie wynik mnożymy przez 10.

• 10 jest liczbą ubogą, gdyż suma wszystkich jej dzielników mniejszych od niej jest mniejsza od niej samej.
• 10 jest liczbą szatańską, gdyż w jej reprezentacji binarnej występuje parzysta liczba jedynek. Rzeczywiście
• 10 jest liczbą półpierwszą, to znaczy można ją wyrazić jako iloczyn dokładnie dwóch liczb pierwszych. .

7. Od całości obecnie odejmujemy 420.

• 420 jest z kolei liczbą podłużną, czyli jest iloczynem kolejnych dwóch liczb naturalnych.

8. Następnie odejmij 2.

9. Dodaj liczbę dwucyfrową, która tworzą dwie ostatnie cyfry roku Twojego urodzenia.

10. Ostatecznie odejmij 108.

• 108 jest hipersilnią 3. Hipersilnia n to iloczyn: .
• 108 jest najmniejszą liczbą, której dzielniki zawierają wszystkie 10 cyfr.
• 108 jest liczbą własną. Liczba własna k to liczba naturalna, która nie da się zapisać jako suma pewnej liczby naturalnej n<k i cyfr tej liczby.

Ostatecznie prosimy o podanie wyniku. Patrząc na wynik, od razu odgadujemy miesiąc, dzień oraz rok urodzenia osoby, która zdecydowała się nam go podać. Przy oznaczeniach: x – miesiąc urodzenia, y – dzień urodzenia, r – liczba wyznaczona przez dwie ostatnie cyfry roku urodzenia ostateczny wynik zawsze będzie postaci:

Przykładowo: Gdy otrzymamy w wyniku ciągu działań liczbę 71067 wnioskujemy, że nasz słuchacz jest urodzony 10 lipca 1967 roku. Miłej zabawy.